שטח = π×r², היקף = 2πr. הזינו רדיוס, קוטר, היקף או שטח – וקבלו את כולם.
נוסחאות העיגול
שטח עיגול = π × r², היקף = 2 × π × r, והקוטר הוא פעמיים הרדיוס. π ≈ 3.14159 הוא היחס הקבוע בין היקף לקוטר.
המחשבון מקבל כל אחד מהנתונים – רדיוס, קוטר, היקף או שטח – ומחשב ממנו את כל השאר. למשל מהיקף: r = היקף ÷ 2π; משטח: r = √(שטח ÷ π).
דוגמה: רדיוס 10 ס"מ
- שטח: π × 100 ≈ 314.16 סמ"ר
- היקף: 2 × π × 10 ≈ 62.83 ס"מ
- קוטר: 20 ס"מ
דוגמה נוספת וטעות נפוצה
לעיגול ברדיוס 5 ס״מ: השטח הוא 78.54 סמ״ר וההיקף 31.42 ס״מ. הטעות הנפוצה ביותר היא להציב את הקוטר במקום הרדיוס בנוסחת השטח – אם מציבים 10 במקום 5, מקבלים שטח גדול פי 4. בבעיות מילוליות כדאי לבדוק אם הנתון הוא "קוטר" או "רדיוס" לפני שמחשבים.
שימוש מעשי: איזו פיצה גדולה יותר
מכיוון שהשטח גדל לפי ריבוע הרדיוס, הבדל קטן בקוטר עושה הבדל גדול בכמות. פיצה אחת בקוטר 30 ס״מ היא 706.9 סמ״ר, ושתי פיצות בקוטר 22 ס״מ הן יחד 760.3 סמ״ר – רק מעט יותר. פיצה בקוטר 32 ס״מ (804.2 סמ״ר) גדולה ב-30% מפיצה בקוטר 28 ס״מ (615.8 סמ״ר), למרות שההבדל בקוטר הוא 4 ס״מ בלבד. להשוואת מחירי פיצות יש מחשבון ייעודי.
מאיפה מגיע π
π הוא היחס בין היקף מעגל לקוטרו, והוא זהה בכל מעגל בכל גודל. זו תכונה שאינה מובנת מאליה, והיא מה שהופך את π לקבוע.
| הקירוב | הערך | הדיוק |
|---|---|---|
| 3 | 3 | שגיאה של כ-4.5% |
| 22/7 | 3.142857 | מדויק ל-3 ספרות |
| 355/113 | 3.14159292 | מדויק ל-7 ספרות |
| π | 3.14159265… | אי־רציונלי, אינסופי |
π הוא אי־רציונלי — אי אפשר לכתוב אותו כשבר של שלמים — וגם טרנסצנדנטי, כלומר אינו פתרון של שום משוואה פולינומית במקדמים שלמים. מהתכונה השנייה נובע שבעיית "ריבוע העיגול" בסרגל ומחוגה בלתי פתירה, שאלה שנשארה פתוחה אלפי שנים עד שהוכחה ב-1882.
לשימושים מעשיים, 3.14159 מספיק לחלוטין. גם בחישובי הנדסה מדויקים די בכמה ספרות.
שטח מול היקף — טעות נפוצה
שתי הנוסחאות דומות במבט ראשון ושונות במהות: היקף = 2πr תלוי לינארית ברדיוס, ושטח = πr² תלוי בריבוע.
| רדיוס | היקף | שטח | יחס לשטח ב-r=1 |
|---|---|---|---|
| 1 | 6.28 | 3.14 | 1 |
| 2 | 12.57 | 12.57 | 4 |
| 5 | 31.42 | 78.54 | 25 |
| 10 | 62.83 | 314.16 | 100 |
כפל הרדיוס מכפיל את ההיקף פי שניים אבל את השטח פי ארבעה. זו הסיבה שפיצה "רק קצת יותר גדולה" מכילה הרבה יותר — ראו מחשבון השוואת פיצה.
הערה על השורה של r=2: ההיקף והשטח יוצאים שם אותו מספר — 12.57. זה צירוף מקרים נחמד של היחידות ולא תכונה מתמטית, מפני שהם נמדדים ביחידות שונות: היקף ביחידה רגילה ושטח ביחידה בריבוע.
שאלות נפוצות
מה ההבדל בין עיגול למעגל?
מעגל הוא הקו הסגור עצמו (לו יש היקף), ועיגול הוא כל השטח שבתוכו (לו יש שטח).
פיצה בקוטר 30 ס"מ גדולה פי כמה מפיצה בקוטר 20?
השטח גדל בריבוע של הקוטר: (30/20)² = 2.25. כלומר יותר מפי שניים, לא פי 1.5.
מה זה π?
היחס בין היקף מעגל לקוטרו, כ-3.14159. הוא זהה בכל מעגל בכל גודל, והוא מספר אי־רציונלי — אי אפשר לכתוב אותו כשבר של שלמים.
מה קורה לשטח כשמכפילים את הרדיוס?
הוא גדל פי ארבעה, מפני שהתלות היא בריבוע. ההיקף, לעומת זאת, גדל פי שניים בלבד.
איזה קירוב ל-π מספיק?
3.14159 מספיק לכל שימוש מעשי, כולל חישובי הנדסה. הקירוב 22/7 מדויק לשלוש ספרות ו-355/113 לשבע.