שטח אליפסה הוא π × a × b, כאשר a ו-b הם חצאי הצירים. ההיקף, לעומת זאת, אינו ניתן לביטוי בנוסחה סופית — ולכן המחשבון משתמש בקירוב של רמנוג׳אן, שמדויק עד כדי שבריר אחוז.
ההבדל הזה בין השטח להיקף הוא מהמקרים היפים שבהם חישוב שנראה פשוט מסתיר בעיה מתמטית עמוקה.
שטח והיקף של אליפסה
אליפסה מתוארת בשני רדיוסים: חצי הציר הגדול (a) וחצי הציר הקטן (b). כשהם שווים, האליפסה היא עיגול.
שטח = π × a × b. נקי ומדויק, והוא ההכללה הישירה של שטח העיגול — כשa שווה ל-b מתקבל π × r².
ההיקף הוא סיפור אחר. לא קיימת נוסחה אלמנטרית מדויקת להיקף אליפסה — הוא מבוטא באינטגרל אליפטי שאין לו צורה סגורה בפונקציות רגילות. לכן משתמשים בקירובים.
המחשבון משתמש בקירוב השני של רמנוג׳אן: נגדיר h = ((a−b) ÷ (a+b))², ואז ההיקף הוא בקירוב π × (a+b) × (1 + 3h ÷ (10 + השורש של (4 − 3h))). הקירוב הזה מדויק עד כדי פחות מ-0.01% באליפסות מתונות, ונשאר טוב מאוד גם באליפסות מוארכות.
קירוב נאיבי נפוץ הוא π × (a+b), שהוא מדויק רק בעיגול ומזלזל בהיקף של אליפסה מוארכת. קירוב אחר, 2π × השורש של ((a²+b²)/2), דווקא מגדיל אותו יתר על המידה.
דוגמה – חצאי צירים 6 ו-4
- a = 6, b = 4
- שטח: π × 6 × 4 = 75.3982
- h: ((6−4) ÷ 10)² = 0.04
- היקף: π × 10 × (1 + 0.12 ÷ (10 + 1.9698)) = 31.7309
- לשם השוואה, הקירוב הנאיבי π × 10 היה נותן 31.416 — טעות של כ-1%
כמה הקירוב באמת מדויק
הטבלה משווה את קירוב רמנוג׳אן לקירוב הנאיבי, באליפסות בדרגות מוארכות שונות עם a = 10:
| a, b | רמנוג׳אן | π(a+b) הנאיבי | טעות הנאיבי |
|---|---|---|---|
| 10, 10 (עיגול) | 62.832 | 62.832 | 0% |
| 10, 8 | 56.727 | 56.549 | 0.3% |
| 10, 5 | 48.442 | 47.124 | 2.7% |
| 10, 2 | 40.639 | 37.699 | 7.2% |
| 10, 1 | 40.639 | 34.558 | כ-15% |
בעיגול שני הקירובים מתלכדים. ככל שהאליפסה מוארכת יותר, הקירוב הנאיבי מזלזל בהיקף יותר ויותר — ולכן בחישוב מעשי של מסגרת או חישוק אליפטי כדאי להיזהר ממנו.
מושגים נלווים
- מוקדים: לאליפסה שני מוקדים, במרחק c מהמרכז, כאשר c = השורש של (a² − b²). סכום המרחקים מכל נקודה על האליפסה אל שני המוקדים קבוע ושווה ל-2a.
- אקסצנטריות: e = c ÷ a. בעיגול היא 0, ובאליפסה מוארכת מאוד היא מתקרבת ל-1.
- מסלולי כוכבים: לפי החוק הראשון של קפלר, כוכבי לכת נעים באליפסה שבאחד ממוקדיה השמש. האקסצנטריות של מסלול כדור הארץ היא כ-0.017, כלומר מסלול שקרוב מאוד לעיגול.
שאלות נפוצות
איך מחשבים שטח אליפסה?
π כפול חצי הציר הגדול כפול חצי הציר הקטן. בחצאי צירים 6 ו-4 השטח הוא π × 24, כלומר כ-75.4.
למה אין נוסחה מדויקת להיקף?
ההיקף מבוטא באינטגרל אליפטי שאין לו צורה סגורה בפונקציות אלמנטריות. לכן משתמשים בקירובים, והטוב שבפשוטים הוא הקירוב השני של רמנוג׳אן.
עד כמה הקירוב מדויק?
קירוב רמנוג׳אן מדויק עד כדי פחות מ-0.01% באליפסות מתונות, ונשאר טוב מאוד גם במוארכות. לשימושים מעשיים אין צורך בדיוק גבוה מזה.
מה הקשר בין אליפסה לעיגול?
עיגול הוא אליפסה שבה שני חצאי הצירים שווים. אז שטח האליפסה מצטמצם ל-π × r² וההיקף ל-2π × r.
מה זה מוקדים של אליפסה?
שתי נקודות על הציר הגדול, במרחק השורש של (a² − b²) מהמרכז. סכום המרחקים מכל נקודה על האליפסה אל שניהם קבוע — זו התכונה שמאפשרת לשרטט אליפסה בחוט ושני נעצים.