נפח כדור הוא 4/3 × π × r³ ושטח הפנים שלו הוא 4 × π × r². המחשבון מקבל רדיוס ומחזיר נפח, שטח פנים וקוטר.
שווה לשים לב למה שקורה כאן: הנפח גדל בחזקת שלוש של הרדיוס. הכפלת הרדיוס מכפילה את הנפח פי שמונה — וזה מסביר הרבה דברים, מכמות האוויר בבלון ועד קצב קירור של גוף.
נפח ושטח פנים של כדור
נפח = 4/3 × π × r³. הרדיוס מועלה בחזקת שלוש, ולכן השפעתו דרמטית: רדיוס כפול פירושו נפח גדול פי 8 (2³), ורדיוס פי שלושה פירושו נפח גדול פי 27.
שטח פנים = 4 × π × r². כאן החזקה היא שתיים, ולכן רדיוס כפול מגדיל את שטח הפנים פי 4 בלבד.
מההבדל בין החזקות נובעת תכונה חשובה — יחס שטח הפנים לנפח קטן כשהכדור גדל. היחס הוא 3/r. לכן כדור קטן מתקרר מהר יותר מכדור גדול מאותו חומר: יש לו יותר שטח לאיבוד חום ביחס לכמות החומר שבו. זה גם ההסבר מדוע קוביות קרח קטנות נמסות מהר יותר מגוש אחד גדול באותו משקל.
מבין כל הגופים בעלי אותו נפח, לכדור יש שטח הפנים הקטן ביותר. זו הסיבה שטיפות מים ובועות סבון מתכנסות לצורת כדור — מתיחות הפנים ממזערת את השטח.
המחשבון מצפה לרדיוס. אם מה שנמדד הוא הקוטר, יש לחלק אותו ב-2 לפני ההזנה. זו הטעות הנפוצה ביותר כאן, והיא מגדילה את הנפח פי 8.
דוגמה – כדור ברדיוס 5
- רדיוס r = 5, ולכן הקוטר הוא 10
- נפח: 4/3 × π × 125 = 523.5988 יחידות מעוקבות
- שטח פנים: 4 × π × 25 = 314.1593 יחידות בריבוע
- יחס שטח לנפח: 3 ÷ 5 = 0.6. בכדור ברדיוס 10 היחס היה 0.3 — מחצית, ולכן קירור אטי יותר
למה החזקה משנה כל כך
הטבלה מראה כיצד הכפלת הרדיוס משפיעה בנפרד על שטח הפנים ועל הנפח:
| רדיוס | שטח פנים | נפח | יחס שטח/נפח |
|---|---|---|---|
| 1 | 12.57 | 4.19 | 3.00 |
| 2 | 50.27 | 33.51 | 1.50 |
| 5 | 314.16 | 523.60 | 0.60 |
| 10 | 1,256.64 | 4,188.79 | 0.30 |
בין רדיוס 1 לרדיוס 10 שטח הפנים גדל פי 100, אבל הנפח גדל פי 1,000. זו הסיבה שיצורים גדולים מתמודדים עם איבוד חום אחרת מיצורים קטנים, ושקרח גרוס נמס מהר בהרבה מגוש.
טעויות נפוצות
- הזנת קוטר במקום רדיוס. משלשת את הטעות — הנפח יוצא גדול פי 8.
- העלאה בחזקת 2 במקום 3 בחישוב הנפח.
- שכחת המקדם 4/3. נותן תוצאה קטנה פי 1.33.
- יחידות: נפח ביחידה בשלישית (מ"ק), שטח ביחידה בריבוע (מ"ר).
שאלות נפוצות
איך מחשבים נפח כדור?
4/3 כפול π כפול הרדיוס בשלישית. בכדור ברדיוס 5 הנפח הוא 523.6 יחידות מעוקבות.
מה אם ידוע הקוטר ולא הרדיוס?
מחלקים את הקוטר ב-2 ומזינים את התוצאה. הזנת קוטר במקום רדיוס מגדילה את הנפח פי 8, ולכן זו הטעות הנפוצה ביותר בחישוב הזה.
למה כדור קטן מתקרר מהר יותר?
יחס שטח הפנים לנפח הוא 3 חלקי הרדיוס, ולכן הוא קטן כשהכדור גדל. לכדור קטן יש יותר שטח לאיבוד חום ביחס לכמות החומר שבו, ולכן הוא מתקרר מהר יותר.
איך מחשבים נפח של חצי כדור?
מחצית מנפח הכדור, כלומר 2/3 × π × r³. שטח הפנים של חצי כדור סגור הוא 3 × π × r² — חצי מהמעטפת הכדורית בתוספת בסיס עגול.
מה נפח כדור בקוטר 20 ס"מ?
הרדיוס הוא 10 ס"מ, ולכן הנפח הוא 4/3 × π × 1,000, שהם כ-4,188.79 סמ"ק — בקירוב 4.19 ליטר.