נפח חרוט הוא שליש מנפח הגליל באותו בסיס ובאותו גובה: π × r² × h ÷ 3. המחשבון מחזיר נפח, שטח פנים וקו יוצר.
ה"שליש" הוא לא מקרי — הוא נכון לכל גוף שמתכנס לקודקוד מבסיס כלשהו, בין אם זה חרוט או פירמידה.
נפח, שטח וקו יוצר של חרוט
נפח = π × r² × h ÷ 3. זהו שליש מנפח הגליל שיש לו אותו בסיס ואותו גובה. אותו יחס של שליש חל גם על פירמידה ביחס למנסרה המתאימה לה.
קו יוצר (l) = השורש של (r² + h²). זה האורך מהקודקוד אל שפת הבסיס, לאורך המעטפת. הוא תמיד ארוך מהגובה, ומחושב בפיתגורס על המשולש שבין הרדיוס, הגובה והמעטפת.
שטח מעטפת = π × r × l, ושטח פנים כולל = π × r × (r + l), כלומר המעטפת בתוספת הבסיס העגול.
הבחנה מעשית: הגובה (h) נמדד אנכית מהבסיס לקודקוד, וקו היוצר (l) נמדד לאורך הדופן הנטויה. שימוש ב-h במקום ב-l בחישוב המעטפת ייתן שטח קטן מהנכון.
גלידה בגביע, משפך, ערימת חול או חרוט תנועה — בכולם הנפח הוא שליש בלבד ממה שנדמה במבט ראשון, וזו הסיבה שערימת חומר חרוטית מכילה פחות ממה שנראה.
דוגמה – חרוט ברדיוס 3 ובגובה 4
- קו יוצר: השורש של (9 + 16) = שורש 25 = 5
- נפח: π × 9 × 4 ÷ 3 = 37.6991 יחידות מעוקבות
- שטח פנים כולל: π × 3 × (3 + 5) = 75.3982 יחידות בריבוע
- לשם השוואה, גליל באותו בסיס ובאותו גובה היה מכיל 113.1 — בדיוק פי שלושה
חרוט מול גליל מול כדור
שלושת הגופים העגולים, באותו רדיוס r ובגובה 2r (כלומר גובה השווה לקוטר), מקיימים יחס נקי:
| הגוף | נפח | יחס |
|---|---|---|
| חרוט | 2/3 × π × r³ | 1 |
| כדור | 4/3 × π × r³ | 2 |
| גליל | 2 × π × r³ | 3 |
היחס 1:2:3 הוא התוצאה שארכימדס ביקש לחרוט על מצבתו. מעשית: חרוט שמלאים אותו שלוש פעמים ממלא בדיוק גליל באותן מידות.
טעויות נפוצות
- שכחת החלוקה ב-3. נותנת נפח גליל, גדול פי שלושה מהנכון.
- שימוש בגובה במקום בקו היוצר בחישוב המעטפת. בדוגמה למעלה ההפרש הוא בין 5 ל-4, כלומר 25% פחות שטח.
- הזנת קוטר במקום רדיוס. מגדילה את הנפח פי 4.
- הכללת הבסיס כשהוא לא נדרש, למשל בחישוב כמות בד למעטפת.
שאלות נפוצות
איך מחשבים נפח חרוט?
π כפול הרדיוס בריבוע כפול הגובה, חלקי 3. בחרוט ברדיוס 3 ובגובה 4 הנפח הוא כ-37.7 יחידות מעוקבות.
למה מחלקים בשלוש?
זו תוצאה גאומטרית: כל גוף שמתכנס מבסיס אל קודקוד בודד — חרוט או פירמידה — מכיל שליש מנפח הגוף הישר בעל אותו בסיס ואותו גובה. הוכחה בסיסית לכך דורשת חשבון אינטגרלי או את שיטת המיצוי של ארכימדס.
מה ההבדל בין גובה לקו יוצר?
הגובה נמדד אנכית מהבסיס אל הקודקוד, וקו היוצר נמדד לאורך הדופן הנטויה מהקודקוד אל שפת הבסיס. קו היוצר ארוך יותר, והוא היתר במשולש שבין הרדיוס והגובה.
איך מחשבים שטח מעטפת בלבד?
π כפול הרדיוס כפול קו היוצר, בלי הבסיס. זה הגודל הרלוונטי לכמות בד, נייר או פח לעטיפת חרוט.
מה נפח גביע גלידה בקוטר 6 ס"מ ובגובה 12 ס"מ?
הרדיוס הוא 3 ס"מ, ולכן הנפח הוא π × 9 × 12 ÷ 3, שהם כ-113.1 סמ"ק — בקירוב 113 מיליליטר.