שטח מעוין מחושב ממכפלת האלכסונים חלקי 2: d₁ × d₂ ÷ 2. המחשבון מקבל את שני האלכסונים ומחזיר שטח, היקף ואורך צלע.
היתרון בשיטה הזו מעשי: את האלכסונים של אריח או של חלקה מעוינת קל למדוד, ואת הגובה — לא.
שטח, צלע והיקף של מעוין
מעוין הוא מרובע שכל ארבע צלעותיו שוות באורכן. הצלעות הנגדיות מקבילות, ולכן כל מעוין הוא גם מקבילית, אבל לא כל מקבילית היא מעוין.
התכונה שעליה נשענת הנוסחה: האלכסונים במעוין חוצים זה את זה בזווית של 90°, וכל אחד חוצה את השני לשני חלקים שווים. כך נוצרים ארבעה משולשים ישרי־זווית זהים.
שטח = d₁ × d₂ ÷ 2. כל אחד מארבעת המשולשים הוא בעל ניצבים d₁/2 ו-d₂/2, ולכן שטחו d₁d₂/8. ארבעה כאלה נותנים d₁d₂/2.
צלע = השורש של ((d₁/2)² + (d₂/2)²) — פיתגורס על אחד מאותם משולשים. היקף = 4 × צלע, מכיוון שכל הצלעות שוות.
ריבוע הוא מעוין שבו שני האלכסונים שווים. אפשר לאמת: באלכסונים של 10 ו-10 מתקבל שטח 50 וצלע של כ-7.07 — בדיוק ריבוע שאלכסונו 10.
דוגמה – אלכסונים 6 ו-8
- אלכסונים d₁ = 6, d₂ = 8
- שטח: 6 × 8 ÷ 2 = 24
- צלע: השורש של (3² + 4²) = שורש 25 = 5
- היקף: 4 × 5 = 20
- שימו לב שהמשולשים שנוצרים הם 3־4־5 — ולכן הצלע יוצאת מספר שלם
מעוין, מקבילית, דלתון וריבוע
| הצורה | מה מאפיין | שטח לפי אלכסונים |
|---|---|---|
| מעוין | ארבע צלעות שוות, אלכסונים מאונכים וחוצים | d₁d₂ ÷ 2 |
| ריבוע | מעוין עם אלכסונים שווים | d² ÷ 2 |
| דלתון | שני זוגות צלעות סמוכות שוות, אלכסונים מאונכים | d₁d₂ ÷ 2 |
| מקבילית | צלעות נגדיות מקבילות, אלכסונים לא בהכרח מאונכים | לא תקף — בסיס × גובה |
הנוסחה לפי אלכסונים תקפה בכל מרובע שבו האלכסונים מאונכים — מעוין, ריבוע ודלתון. במקבילית רגילה היא אינה תקפה, ושם מחשבים בסיס כפול גובה.
טעויות נפוצות
- שימוש בצלע במקום באלכסון. הנוסחה דורשת אלכסונים; מצלע אחת לבדה אי אפשר לגזור את השטח, כי מעוין יכול להיות "שטוח" או "פתוח" באותה צלע.
- שכחת החלוקה ב-2. מכפילה את התוצאה.
- הנחה שהיקף קובע שטח. שני מעוינים בעלי אותו היקף יכולים להיות בעלי שטחים שונים לגמרי — תלוי בזווית.
שאלות נפוצות
איך מחשבים שטח מעוין?
מכפילים את שני האלכסונים ומחלקים ב-2. באלכסונים של 6 ו-8 השטח הוא 24.
האם ריבוע הוא מעוין?
כן. ריבוע הוא מעוין שבו שני האלכסונים שווים באורכם, או לחלופין מעוין שכל זוויותיו 90°.
איך מחשבים שטח מעוין בלי אלכסונים?
אם ידועים הצלע s והגובה h, אז השטח הוא s × h. אם ידועים הצלע וזווית, השטח הוא s² כפול הסינוס של הזווית.
מה מיוחד באלכסונים של מעוין?
הם חוצים זה את זה בזווית של 90°, וכל אחד חוצה את השני לשני חלקים שווים. בגלל זה הם מחלקים את המעוין לארבעה משולשים ישרי־זווית זהים.
האם הנוסחה עובדת בדלתון?
כן. בכל מרובע שבו האלכסונים מאונכים, השטח הוא מכפלת האלכסונים חלקי 2 — כולל דלתון.