שטח משושה סדיר הוא 3 × שורש 3 ÷ 2 × s², כלומר בקירוב 2.598 כפול הצלע בריבוע. המחשבון מחזיר שטח, היקף ואלכסון.
המשושה הוא הצורה שחוזרת שוב ושוב בטבע ובהנדסה — בכוורות, באומים, באריחים ובמבני סריג — ויש לכך סיבה מדידה.
שטח, היקף ואלכסון של משושה סדיר
משושה סדיר מתפרק מהמרכז ל-שישה משולשים שווי־צלעות זהים, שצלעם שווה לצלע המשושה. זו תכונה שאין בשום מצולע סדיר אחר.
שטח משולש שווה־צלעות הוא s² × שורש 3 ÷ 4, ולכן שישה כאלה נותנים שטח = 3 × שורש 3 ÷ 2 × s², שהם כ-2.598s².
היקף = 6s, ואלכסון ארוך = 2s — המרחק בין שני קודקודים נגדיים, שהוא פי שניים מהצלע כי הוא עובר דרך שני משולשים.
יש גם אלכסון קצר, בין שני קודקודים שאינם נגדיים, ואורכו s × שורש 3 (כ-1.732s). זה גם מרחק המפתח — המרחק בין שתי פאות נגדיות, המספר שלפיו נמדדים אומים ומברגים.
כל זווית פנימית במשושה סדיר היא 120°. שלוש זוויות כאלה משלימות בדיוק 360°, ולכן שלושה משושים נפגשים בנקודה בלי רווח — זה מה שמאפשר ריצוף מלא של מישור.
דוגמה – משושה בצלע 5
- אורך צלע s = 5
- שטח: 3 × 1.7321 ÷ 2 × 25 = 64.9519
- היקף: 6 × 5 = 30
- אלכסון ארוך: 2 × 5 = 10
- אלכסון קצר (מרחק מפתח): 5 × 1.7321 = כ-8.66
למה משושים ולא ריבועים
רק שלוש צורות סדירות מרצפות מישור בלי רווחים: משולש, ריבוע ומשושה. ההשוואה בשטח זהה של 1 יחידה:
| הצורה | היקף לשטח 1 | יעילות |
|---|---|---|
| משולש שווה־צלעות | 4.559 | הגרועה |
| ריבוע | 4.000 | בינונית |
| משושה | 3.722 | הטובה מהשלוש |
| עיגול (לא מרצף) | 3.545 | הגבול התיאורטי |
למשושה ההיקף הקטן ביותר מבין המרצפות, כלומר נדרש פחות חומר דופן לאותו שטח. בכוורת זה מתורגם ישירות לפחות שעווה לאותו נפח תאים. הטענה שהמשושה הוא המרצף היעיל ביותר נקראת השערת הכוורת, והוכחה מתמטית ב-1999.
איפה זה שימושי
- אומים ומברגים: נמדדים לפי מרחק המפתח, כלומר האלכסון הקצר. אום "17" פירושו 17 מ"מ בין פאות נגדיות.
- אריחי ריצוף: אריח משושה בצלע 10 ס"מ מכסה כ-259.8 סמ"ר, ולכן נדרשים כ-38.5 אריחים למ"ר.
- מבני סריג: סריג משושה חזק ביחס למשקלו, ולכן נפוץ בחומרי ליבה קלים.
לחישוב מצולעים אחרים יש באתר מחשבון מצולע סדיר, שעובד לכל מספר צלעות ומחזיר באותה הזדמנות גם את רדיוס החוץ.
שאלות נפוצות
איך מחשבים שטח משושה סדיר?
3 כפול שורש 3, חלקי 2, כפול הצלע בריבוע — בקירוב 2.598 כפול s². בצלע 5 השטח הוא כ-64.95.
מה הזווית הפנימית במשושה סדיר?
120°. סכום הזוויות הפנימיות הוא 720°, ומכיוון שיש שש זוויות שוות כל אחת היא 120°.
מה ההבדל בין האלכסון הארוך לקצר?
האלכסון הארוך מחבר קודקודים נגדיים ואורכו 2s. האלכסון הקצר מחבר קודקודים שאינם נגדיים, אורכו s כפול שורש 3, והוא גם המרחק בין פאות נגדיות — מרחק המפתח של אום.
כמה אריחים משושים נדרשים למ"ר?
אריח בצלע 10 ס"מ מכסה כ-259.8 סמ"ר, ולכן נדרשים כ-38.5 אריחים למ"ר, לפני תוספת לפחת וחיתוכים.
למה כוורות בנויות ממשושים?
מבין הצורות שמרצפות מישור בלי רווחים, למשושה ההיקף הקטן ביותר ביחס לשטח. פחות דופן לאותו נפח פירושו פחות שעווה — יעילות שהוכחה מתמטית כאופטימלית ב-1999.