המחשבון עובד על שני סוגי סדרות: חשבונית, שבה מוסיפים הפרש קבוע, והנדסית, שבה מכפילים ביחס קבוע. הוא מחזיר את האיבר ה-n ואת סכום הסדרה.
ההבדל ביניהן הוא ההבדל בין גידול ליניארי לגידול מעריכי — ולכן זה שורש ההבנה של ריבית דריבית.
סדרה חשבונית וסדרה הנדסית
בסדרה חשבונית כל איבר גדול מקודמו בהפרש קבוע d. האיבר ה-n: aₙ = a₁ + (n−1)d. הסכום: Sₙ = n × (a₁ + aₙ) ÷ 2.
נוסחת הסכום היא בעצם ממוצע האיבר הראשון והאחרון, כפול מספר האיברים. הדרך לראות זאת היא לזווג את האיבר הראשון עם האחרון, השני עם האחד לפני האחרון וכן הלאה — כל זוג נותן אותו סכום.
בסדרה הנדסית כל איבר הוא קודמו כפול יחס קבוע q. האיבר ה-n: aₙ = a₁ × q^(n−1). הסכום: Sₙ = a₁ × (qⁿ − 1) ÷ (q − 1), וכאשר q שווה 1 הסכום הוא פשוט a₁ × n.
ההבדל המעשי דרמטי. סדרה חשבונית שמתחילה ב-2 בהפרש 2 מגיעה באיבר ה-20 ל-40. סדרה הנדסית שמתחילה ב-2 ביחס 2 מגיעה באיבר ה-20 ל-1,048,576.
מקרה מיוחד: כאשר |q| קטן מ-1, הסדרה האינסופית מתכנסת לסכום סופי — S = a₁ ÷ (1 − q). לכן 1 + ½ + ¼ + ⅛ + … מתכנס בדיוק ל-2.
דוגמאות בשני הסוגים
- חשבונית: a₁ = 3, d = 5, n = 10
- האיבר העשירי: 3 + 9×5 = 48. הסכום: 10 × (3+48) ÷ 2 = 255
- הנדסית: a₁ = 2, q = 3, n = 8
- האיבר השמיני: 2 × 3⁷ = 4,374. הסכום: 2 × (3⁸−1) ÷ 2 = 6,560
- שימו לב לפער: בחשבונית האיבר האחרון הוא כ-19% מהסכום, בהנדסית הוא כ-67%
ליניארי מול מעריכי
שתי סדרות שמתחילות ב-2, אחת בהפרש 2 והשנייה ביחס 2:
| איבר | חשבונית (d=2) | הנדסית (q=2) |
|---|---|---|
| 1 | 2 | 2 |
| 5 | 10 | 32 |
| 10 | 20 | 1,024 |
| 15 | 30 | 32,768 |
| 20 | 40 | 1,048,576 |
| 30 | 60 | 1,073,741,824 |
באיבר ה-30 ההפרש הוא בין 60 למיליארד. זה בדיוק מה שהופך גידול מעריכי לקשה לתפיסה אינטואיטיבית — ומה שעומד מאחורי אגדת גרגירי החיטה על לוח השחמט, שבה 64 הכפלות מגיעות לכמות גדולה מהיבול העולמי.
איפה סדרות מופיעות בפועל
- ריבית דריבית היא סדרה הנדסית: כל שנה הסכום מוכפל ב-(1+r). לכך יש באתר מחשבון ריבית דריבית.
- לוח שפיצר במשכנתא נשען על סכום סדרה הנדסית, וממנו נגזרת נוסחת ההחזר החודשי. ראו מחשבון לוח שפיצר.
- פחת ליניארי הוא סדרה חשבונית, ופחת בשיעור קבוע הוא סדרה הנדסית יורדת.
- חיסכון בהפקדה חודשית קבועה הוא סכום של סדרה הנדסית.
- אוקטבות במוזיקה הן סדרה הנדסית ביחס 2 בתדירות.
כלל אצבע מעשי לגידול מעריכי: כלל 72 — מחלקים 72 בשיעור הצמיחה באחוזים ומקבלים בקירוב את מספר התקופות להכפלה. ב-8% לשנה מתקבלות כ-9 שנים.
שאלות נפוצות
מה ההבדל בין סדרה חשבונית להנדסית?
בחשבונית מוסיפים הפרש קבוע, ובהנדסית מכפילים ביחס קבוע. התוצאה היא גידול ליניארי לעומת גידול מעריכי.
מה נוסחת האיבר ה-n?
בחשבונית aₙ = a₁ + (n−1)d. בהנדסית aₙ = a₁ כפול q בחזקת (n−1).
איך מחשבים סכום סדרה חשבונית?
מספר האיברים כפול ממוצע האיבר הראשון והאחרון. בסדרה 3, 8, 13 ... עד 48 בעשרה איברים: 10 כפול 25.5, כלומר 255.
מתי סדרה אינסופית מתכנסת?
בסדרה הנדסית, כשהערך המוחלט של היחס קטן מ-1. אז הסכום האינסופי הוא a₁ חלקי (1−q), ולכן 1 + ½ + ¼ + ... מתכנס ל-2.
מה הקשר לריבית דריבית?
ריבית דריבית היא סדרה הנדסית שבה היחס הוא (1 + הריבית). לכן הצמיחה מעריכית, וכלל 72 מקרב את מספר התקופות להכפלה.