סטיית תקן מודדת כמה הנתונים מפוזרים סביב הממוצע. המחשבון מקבל רשימת מספרים ומחזיר ממוצע, שונות וסטיית תקן — ובנפרד לאוכלוסייה ולמדגם.
ההבחנה בין שתי הגרסאות אינה פורמלית בלבד: היא משנה את התוצאה, והבחירה הלא נכונה מטה את האומדן.
ממוצע, שונות וסטיית תקן
התהליך בארבעה שלבים: מחשבים את הממוצע, מודדים את הסטייה של כל ערך ממנו, מעלים כל סטייה בריבוע ומסכמים, ולבסוף מחלקים ומוציאים שורש.
הריבוע נחוץ משתי סיבות: הוא מבטל סימנים (אחרת הסטיות היו מתקזזות לאפס), והוא מעניק משקל גדול יותר לסטיות גדולות.
השלב שבו שתי הגרסאות נבדלות הוא החלוקה. לאוכלוסייה מחלקים ב-n, ולמדגם מחלקים ב-(n−1).
ההיגיון מאחורי ה-(n−1), שנקרא תיקון בסל: במדגם, הממוצע עצמו מחושב מהנתונים, ולכן הסטיות מהממוצע קטנות באופן שיטתי מהסטיות מהממוצע האמיתי של האוכלוסייה. החלוקה במספר קטן יותר מגדילה את התוצאה ומפצה על ההטיה.
כלל ההחלטה פשוט: אם הנתונים הם כל האוכלוסייה — מחלקים ב-n. אם הם מדגם שממנו רוצים להסיק על אוכלוסייה — מחלקים ב-(n−1). ציוני כל תלמידי הכיתה הם אוכלוסייה; סקר של 500 נשאלים הוא מדגם.
דוגמה – הנתונים 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9
- ממוצע: 40 ÷ 8 = 5
- סטיות בריבוע: 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16 — סכום 32
- כאוכלוסייה: שונות 32÷8 = 4, סטיית תקן = 2
- כמדגם: שונות 32÷7 = 4.571, סטיית תקן = 2.138
- ההפרש הוא כ-7% — משמעותי בנתונים קטנים, זניח בנתונים גדולים
מה סטיית תקן אומרת בפועל
בהתפלגות נורמלית, סטיית התקן מתורגמת ישירות לאחוזים מהאוכלוסייה — כלל 68–95–99.7:
| הטווח | אחוז מהנתונים | בדוגמה (ממוצע 5, σ=2) |
|---|---|---|
| ±1σ | כ-68% | בין 3 ל-7 |
| ±2σ | כ-95% | בין 1 ל-9 |
| ±3σ | כ-99.7% | בין −1 ל-11 |
מכאן נובע למה סטיית תקן שימושית יותר מהממוצע לבדו: שתי קבוצות יכולות לחלוק אותו ממוצע ולהיות שונות לגמרי. ציונים של 50 ו-90 נותנים ממוצע 70, בדיוק כמו 69 ו-71 — אבל הפיזור שונה בתכלית.
להמרת ערך לציון Z ולאחוזון יש באתר מחשבון ציון Z.
שונות, סטיית תקן ומקדם השתנות
- שונות היא ממוצע הסטיות בריבוע. היחידות שלה מרובעות — אם הנתונים בשקלים, השונות היא בשקלים בריבוע, שאינו גודל בעל משמעות אינטואיטיבית.
- סטיית תקן היא השורש של השונות, ולכן היא חוזרת ליחידות המקוריות. זו הסיבה שמדווחים אותה ולא את השונות.
- מקדם השתנות הוא סטיית התקן חלקי הממוצע, בדרך כלל באחוזים. הוא מאפשר להשוות פיזור בין קבוצות בסדרי גודל שונים.
דוגמה למקדם השתנות: סטיית תקן של 1,000 ₪ בשכר ממוצע של 10,000 ₪ היא פיזור של 10%. אותה סטיית תקן בשכר ממוצע של 100,000 ₪ היא 1% בלבד — אותו מספר, פיזור יחסי אחר לגמרי.
הערה על חריגים: סטיית תקן רגישה מאוד לערכים חריגים, מפני שהסטיות מועלות בריבוע. ערך בודד שרחוק מאוד מהממוצע יכול להכפיל אותה. במקרים כאלה מקובל לדווח גם חציון וטווח בין־רבעוני, שעמידים יותר.
שאלות נפוצות
מה ההבדל בין סטיית תקן של אוכלוסייה ושל מדגם?
באוכלוסייה מחלקים את סכום הריבועים ב-n, ובמדגם ב-(n−1). החלוקה ב-(n−1) מתקנת הטיה שנובעת מכך שהממוצע חושב מהנתונים עצמם.
מתי להשתמש בכל אחת?
אם הנתונים הם כל האוכלוסייה — למשל ציוני כל תלמידי הכיתה — מחלקים ב-n. אם הם מדגם שממנו מסיקים על אוכלוסייה גדולה, מחלקים ב-(n−1).
מה המשמעות של סטיית תקן?
בהתפלגות נורמלית, כ-68% מהנתונים נמצאים בטווח סטיית תקן אחת מהממוצע, כ-95% בטווח שתיים וכ-99.7% בטווח שלוש.
למה מעלים את הסטיות בריבוע?
כדי לבטל סימנים — אחרת הסטיות החיוביות והשליליות היו מתקזזות לאפס — וכדי לתת משקל גדול יותר לסטיות גדולות.
מה ההבדל בין שונות לסטיית תקן?
סטיית תקן היא השורש של השונות. השונות ביחידות מרובעות, ולכן סטיית התקן — שחוזרת ליחידות המקוריות — היא זו שמדווחים.