המחשבון מחזיר את מספר הצירופים ואת מספר התמורות של k מתוך n. ההבדל ביניהם הוא שאלה אחת: האם הסדר חשוב.
בלוטו, שבו בוחרים 6 מתוך 37, הסדר לא חשוב — ולכן צירופים. בבחירת זהב, כסף וארד, הסדר חשוב — ולכן תמורות.
צירופים, תמורות ומה מבדיל ביניהם
תמורות (permutations): P(n,k) = n! ÷ (n−k)! — מספר הדרכים לבחור k פריטים מתוך n כשהסדר חשוב.
צירופים (combinations): C(n,k) = n! ÷ (k! × (n−k)!) — אותו דבר כשהסדר אינו חשוב. מסמנים גם "n מעל k".
הקשר ביניהם ישיר: C(n,k) = P(n,k) ÷ k!. כל צירוף אחד יכול להיות מסודר ב-k! דרכים שונות, ולכן התמורות רבות פי k! מהצירופים.
הסימן "!" הוא עצרת: n! הוא מכפלת כל המספרים מ-1 עד n. 5! הוא 120, ו-10! הוא 3,628,800. העצרות גדלות במהירות עצומה, ולכן המחשבון עובד ב-BigInt כדי לא לאבד דיוק.
תכונת סימטריה שימושית: C(n,k) = C(n, n−k). לבחור 3 מתוך 10 שקול לבחור את 7 שיישארו, ולכן התוצאה זהה.
דוגמה – 3 מתוך 10
- תמורות: 10 × 9 × 8 = 720 — למשל דירוג שלושת המקומות הראשונים
- צירופים: 720 ÷ 3! = 720 ÷ 6 = 120 — למשל בחירת צוות של שלושה
- היחס ביניהם הוא 3! = 6, כמספר הסידורים של כל שלישייה
- סימטריה: C(10,3) = C(10,7) = 120
- בלוטו, 6 מתוך 49: C = 13,983,816 אפשרויות
טבלת צירופים ותמורות
| n, k | תמורות P | צירופים C | היחס (k!) |
|---|---|---|---|
| 5, 2 | 20 | 10 | 2 |
| 10, 3 | 720 | 120 | 6 |
| 20, 5 | 1,860,480 | 15,504 | 120 |
| 49, 6 | 10,068,347,520 | 13,983,816 | 720 |
| 52, 5 | 311,875,200 | 2,598,960 | 120 |
השורה האחרונה היא מספר היָדות האפשריות בפוקר מחפיסה של 52 קלפים: כ-2.6 מיליון. השורה של 49 ו-6 היא מספר האפשרויות בלוטו בפורמט הנפוץ באירופה. לחישוב סיכויי לוטו יש באתר מחשבון הסתברות לוטו.
איך לדעת אם זה צירוף או תמורה
שאלת הבדיקה היא אחת: האם שינוי הסדר יוצר אפשרות חדשה?
| המצב | מה נכון | למה |
|---|---|---|
| מספרי לוטו | צירופים | 1,2,3 זהה ל-3,2,1 |
| צוות של שלושה | צירופים | אותם אנשים, אותו צוות |
| זהב, כסף, ארד | תמורות | הסדר קובע מי קיבל מה |
| קוד ספרות | תמורות | 1234 שונה מ-4321 |
| סדר מושבים | תמורות | כל סידור שונה |
נקודה נוספת: שתי הנוסחאות מניחות בחירה בלי חזרות, כלומר כל פריט נבחר פעם אחת לכל היותר. אם חזרות מותרות — למשל קוד שבו ספרה יכולה לחזור — מספר האפשרויות הוא nᵏ, כלומר 10⁴ = 10,000 לקוד בן ארבע ספרות.
שאלות נפוצות
מה ההבדל בין צירופים לתמורות?
בתמורות הסדר חשוב, בצירופים לא. בחירת 3 מתוך 10 נותנת 720 תמורות אבל רק 120 צירופים.
מה הנוסחה לצירופים?
C(n,k) = n! חלקי (k! כפול (n−k)!). לחלופין, מספר התמורות חלקי k עצרת.
כמה אפשרויות יש בלוטו 6 מתוך 49?
13,983,816 צירופים. מכיוון שהסדר אינו חשוב בלוטו, זו השאלה של צירופים ולא של תמורות.
מה המשמעות של C(n,k) = C(n,n−k)?
שבחירת k פריטים שקולה לבחירת אלה שיישארו בחוץ. לבחור 3 מתוך 10 ולבחור 7 מתוך 10 נותנים את אותו מספר — 120.
מה אם מותר לחזור על פריט?
אז מספר האפשרויות הוא n בחזקת k. לקוד בן ארבע ספרות שבו ספרה יכולה לחזור יש 10,000 אפשרויות, ולא 5,040.