זמן המחזור של מטוטלת פשוטה הוא T = 2π √(L/g) — תלוי באורך החוט ובתאוצת הכבידה בלבד. המחשבון מחזיר זמן מחזור, תדירות ותדירות זוויתית.
העובדה המפתיעה: המסה לא מופיעה בנוסחה, וגם לא גודל התנודה. זה מה שהפך את המטוטלת לבסיס שעונים מדויקים במשך מאות שנים.
תנודת מטוטלת ומה קובע אותה
מטוטלת פשוטה היא מסה נקודתית תלויה בחוט חסר מסה. זמן המחזור — הזמן לתנודה שלמה הלוך וחזור — הוא T = 2π × √(L/g).
שני דברים אינם משפיעים: המסה ומשרעת התנודה. מטוטלת כבדה וקלה באותו אורך מתנדנדות באותו זמן, ותנודה רחבה אורכת כמו תנודה צרה. התכונה השנייה נקראת איזוכרוניזם, וגלילאו גילה אותה.
התדירות היא f = 1/T בהרץ, והתדירות הזוויתית ω = 2π/T ברדיאן לשנייה.
התלות באורך היא בשורש: כדי להכפיל את זמן המחזור צריך אורך פי ארבעה. מטוטלת של מטר מתנדנדת בכ-2.01 שניות, ומטוטלת של 4 מטר בכ-4.01 שניות.
מגבלה שחשוב להכיר: הנוסחה היא קירוב לזוויות קטנות, בדרך כלל עד כ-15°. בזוויות גדולות זמן המחזור ארוך יותר מהחישוב, והמשוואה המדויקת דורשת אינטגרל אליפטי.
דוגמה – מטוטלת באורך מטר
- אורך L = 1 מטר, g = 9.81
- זמן מחזור: 2π × √(1 ÷ 9.81) = 2.006 שניות
- תדירות: 1 ÷ 2.006 = 0.498 הרץ
- כלומר כחצי תנודה בשנייה — וחצי מחזור, "טיק" אחד, אורך כשנייה
- למחזור של שנייה בדיוק נדרש אורך של כ-0.2484 מטר
זמן מחזור לפי אורך
| אורך | זמן מחזור | תדירות |
|---|---|---|
| 0.1 מ׳ | 0.634 שנ׳ | 1.576 Hz |
| 0.2484 מ׳ | 1.000 שנ׳ | 1.000 Hz |
| 0.5 מ׳ | 1.419 שנ׳ | 0.705 Hz |
| 0.994 מ׳ | 2.000 שנ׳ | 0.500 Hz |
| 1 מ׳ | 2.006 שנ׳ | 0.498 Hz |
| 4 מ׳ | 4.013 שנ׳ | 0.249 Hz |
השורה של 0.994 מטר מעניינת היסטורית: מטוטלת שחצי המחזור שלה הוא שנייה בדיוק, כלומר "מטוטלת שנייה". בשלב מסוים נשקל להגדיר את המטר לפיה, לפני שנבחרה ההגדרה לפי היקף כדור הארץ.
למה שעוני מטוטלת היו מדויקים
מכיוון שזמן המחזור אינו תלוי במשרעת, מטוטלת ממשיכה לשמור על קצב גם כשהתנודה נחלשת מחיכוך. זה מה שהפך אותה לשעון: היה צריך רק להוסיף אנרגיה קטנה בכל מחזור כדי לשמור על התנודה, בלי שהקצב ישתנה.
שעון מטוטלת שהוצג במאה ה-17 שיפר את דיוק מדידת הזמן בסדר גודל, משגיאה של דקות ביום לשגיאה של שניות. מקורות אי־דיוק שנותרו:
- התפשטות תרמית. מוט המטוטלת מתארך בחום, זמן המחזור גדל והשעון מאחר. פתרונות שפותחו כללו מוטות משולבים משני מתכות.
- שינויים ב-g. מכיוון שזמן המחזור תלוי ב-g, שעון מטוטלת מכויל לקו רוחב ולגובה מסוימים. אותו שעון מאחר או מקדים במקום אחר — ולכן מטוטלת שימשה גם למדידת g עצמו.
- משרעת גדולה. בתנודה רחבה הקירוב של זוויות קטנות נשבר והמחזור מתארך.
שאלות נפוצות
מה זמן המחזור של מטוטלת באורך מטר?
כ-2.006 שניות, לפי T = 2π√(L/g) עם g של 9.81. כלומר כל "טיק" — חצי מחזור — אורך כשנייה.
האם המסה משפיעה על התנודה?
לא. המסה אינה מופיעה בנוסחה, ולכן מטוטלת כבדה וקלה באותו אורך מתנדנדות באותו זמן מחזור.
האם גודל התנודה משפיע?
בזוויות קטנות, עד כ-15°, כמעט לא — תכונה שנקראת איזוכרוניזם. בזוויות גדולות זמן המחזור ארוך יותר מהחישוב.
איך מכפילים את זמן המחזור?
מאריכים את החוט פי ארבעה, מכיוון שהתלות היא בשורש האורך. מטוטלת של מטר נותנת 2.01 שניות ומטוטלת של 4 מטר נותנת 4.01.
איזה אורך נותן מחזור של שנייה בדיוק?
כ-0.2484 מטר בתאוצת כבידה של 9.81. מטוטלת שחצי המחזור שלה הוא שנייה — "מטוטלת שנייה" — ארוכה כ-0.994 מטר.